Question

Aratati ca exista numere a si b astfel incat, inmultind polinoamele X²+aX+b si X²-3X+4, produsul lor sa nu aiba termeni de gradul 1 si 2.
mersi :)

Answer 1

Dupa parerea mea, s-ar rezolva asa.

Cu semnul "*" notez inmultirea.

Vom face inmultirea polinoamelor si vom incerca sa determinam pentru ce valori ale lui a si b(care banuiesc ca sunt numere reale; eu in aceasta ipoteza voi rezolva) coeficientii termenilor de grad 1 si 2 sunt nuli.

(x*x + ax +b)(x*x - 3x + 4) = x*x*x*x - 3x*x*x + 4x*x + ax*x*x - 3ax*x + 4ax + bx*x - 3bx + 4b = x*x*x*x + (a - 3)x*x*x + (4 - 3a + b)x*x + (4a - 3b)x + 4b

Daca punem conditiile de anulare a coeficientilor  termenilor de gradul 1 si 2, se obtine sistemul de ecuatii;

4 - 3a + b = 0
si
4a - 3b = 0

Din prima relatie exprimam pe b in functie de a ca fiind b = 3a - 4
Inlocuim in cealalta relatie si avem:

4a - 3b = 0
4a - 3(3a - 4) = 0
4a - 9a + 12 = 0
-5a = -12, de unde a = 12/5.

b = 3a - 4
b = 3*(12/5) - 4
 b = (36/5) - 4
b = 16/5.

Deci pentru a = 12/5 si b = 16/5 produsul celor doua polinoame nu contine termeni de gradul 1 si 2.

Sper ca rezolvarea sa fie corecta.