Aratati ca exista o infinitate de numere n€N astfel incat numerele n+1,n+2,n+3 si n+4 sa fie simultan compuse
Va rooog, trebuie sa o postez pe classroom în maxim 30 min
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Un numar compus este un numar "neprim", adica are si alti divizori in afara de 1 si numarul insusi.
Un numar prim are ultima cifra impara, 1,3,7 sau 9 (daca ultima cifra e 5, se divide cu 5).
Fie ultima cifra 1. Atunci numarul prim respectiv se poate scrie ca 10k+1.
Numerele din seria noastra sunt:
(10k+1)+1=10k+2, (10k+1)+2=10k+3, (10k+1)+3,=10k+4, (10k+1)+4=10k+5
Analizam fiecare numar din serie:
10k+2 este par, 10k+4 este par, 10k+5 se divide cu 5
Mai ramane de studiat 10k+3, care ar trebui sa se divida cu un alt numar. Sa luam divizibilitata cu 3. Ca sa se divida cu 3, ar trebui ca 10k sa se divida cu 3, pentru ca adunat cu 3 se va divide la 3. Asta implica k sa se divida cu 3. Numere k divizibile cu 3 sunt o infinitate.
Sa luam si un exemplu: luam k=99; 10k+3=10∙99+3=993 care se divide cu 3. Deci 993 este numarul n+2 din serie. Celelalte numere din serie ar fi, n+1= 993-1=992, care se divide cu 2, deci e compus.
Numarul n+3 este 993+1=994 care se divide cu 2, deci e numar compus
Ultimul numar din serie, n+4 este 994+1=995, care se divide cu 5, deci e numar compus.
Nici nu mai e necesar sa studiem celelalte cifre care ar putea fi pe ultima pozitie, 3, 7 sau 9, pentru ca deja am gasit o infinitate de numere care raspund la cerinta problemei.
Spor