Question

Aratati ca existe numere naturale a, b, C, astfel incat a/2+b/3+c/6 eN°
​

Answer 1

a/2+b/3+c/6 ∈ N

Prelucrăm, aducând fracțiile la același numitor

⇒ a/2+b/3+c/6 = (2a+3b+c)/6

Problema revine la aflarea a 3 numere

a, b, c

a.i.   (2a+3b+c)/6 sa fie natural

adică

(2a+3b+c) ar trebui să fie un multiplu de 6

Ca să arătăm că astfel de numere există, e destul să găsim un exemplu.

Ce s-ar intâmpla dacă am considera a=0, b=0?

 am avea

2x0+3x0+c=c

Dacă c = 6k  (e un multiplu de 6), a=0, c=0

(2a+3b+c) = 2x0+3x0+6k   pentru orice k ∈ N

Am gasit nu unul, ci foarte multe cazuri. Deci există numere care satisfac relația cerută. Am aratat acest lucru.

__________________________________________

DAR, pentru a mai cerceta

a)

Scriem 6 ca suma 6=3+2+1

știm ca 6x1 este un multiplu de 6

2x1 + 3x1 + 1x1 = 6

a=1,   b=1,   c=1 sunt alte trei numere cu proprietatea ceruta

b)

Cerem ca (2a+3b+c) să fie de forma 2x3 + 3x2 + 6k

a=3  b=2   c=0

a=3   b=2   c=6p

Am găsit o regulă.

În general, dacă fiecare termen al sumei 2a+3b+c e multiplu de 6, 2a= 6p      3b= 6n    c=6k ⇒

⇒a=3p    b=2n  si c=6k

suma va fi un multiplu de 6.

Reflecție: Noi am aflat mai multe numere decât ne cerea problema. Poate că mai sunt și altele.