Question

Arătați ca expresia E(x)=4x^2-4x+11 este pozitiva pentru oricare x apartine lui R si determinati valoarea minima a expresiei . Va rog mult, am nevoie pentru testul initial .

Answer 1

E(x,y)=x²+10y²-4xy-2x-2y=(x²+4y²+1-4xy-2x+4y)+6y²-6y-1=
                                        =              (x-2y-1)²        +6y²-6y-1=
                                        =(x-2y-1)²+[(√6y)²-2*√6y*3/√6+(3/√6)²]-(3/√6)²-1=
                                        =(x-2y-1)²+(√6y-3/√6)²-9/6-1=
                                        =(x-2y-1)²+(√6y-3/√6)²-5/2.
(x-2y-1)²,(√6y-3/√6)²≥0, pentru orice x,y din R
Expresia isi atinge valoarea minima atunci cand 
                             x-2y-1=√6y-3/√6=0 ⇒ y=1/2,x=2 si
 E(2,1/2)=-5/2