Question

Arătați ca f:N->N, f(n) =4n+1 nu este bijectiva

Answer 1

Răspuns:

f:N → N, f(n)=4n+1

Presupunem ca f e bijectiva. Deci f trebuie sa fie injectiva si surjectiva in acelasi timp.

1) f injectiva <=> (∀) x₁, x₂ ∈ N cu prop. f(x₁)=f(x₂) => x₁=x₂.

f(x₁)=f(x₂) => 4x₁+1=4x₂+1 => 4x₁=4x₂ => x₁=x₂ => f injectiva

2) f surjectiva <=> exista (E intors) x∈N (∀) y∈N astfel incat f(x)=y

f(x)=y

f(x)=4x+1     => 4x+1=y => 4x=y-1 => x=y-1/4, cu y∈N

Se observa ca x∉N ptr (∀)y∈N ( dand lui y valoarea 2 (de ex), ptr y=2 => x=1/4 ∉ N - poti da orice valoare lui y pentru care x∉N)

=> f nu este surjectivă.

Cum f e injectivă si nu e surjectivă => contradicție cu presupunere făcută și deci, f nu este bijectivă.

Sper că te-am ajutat!