Question

Arătați că fracția (10 ^2017 -1)/n(n+4)(n+11) este reductibila

Answer 1

Vom demonstra ca fractia se poate simplifica prin 3. Astfel, trebuie sa demonstram ca numaratorul si numitorul sunt divizibile cu 3:

10^2017 - 1 = 1000...0 - 1 = 999...9
Se observa ca numaratorul este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor este multiplu de 3

Pentru n(n + 4)(n + 11) putem lua fiecare caz:

I. n este divizibil cu 3; Orice numar inmultit cu un multiplu al lui 3 este divizibil cu 3  ==> 3 | n(n + 4)(n + 11)

II. Restul impartirii lui n la 3 este 1  ==>  n = 3k + 1, k ∈ Z  ==> 
    n + 11 = 3k + 1 + 11 = 3k + 12 = 3k + 3*4 = 3(k + 4)  care este divizibil cu 3  ==> 3 | n(n + 4) (n + 11)

III. Restul impartirii lui n la 3 este 2 ==> n = 3k + 2, k  ∈ Z  ==> 
     n + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3k + 3*2 = 3(k + 2)  care este divizibil cu 3  ==>  3 | n(n + 4)(n + 11)

Stiind ca unul dintre cele 3 cazuri trebuie sa fie adevarat, iar toate duc la aceeasi concluzie  ==>  3 | n(n + 4)(n + 11) , n ∈ Z

Asadar, fractia se poate simplifica prin 3, deci este reductibila.