Question

Aratati ca fractiile:
1) $2^{n+3} + 2^{n+2} + 2^{n+1}+2^{n}$ supra $3^{n+2} + 2 *3^{n+1} + 3^{n}$
Se simplifica prin 6 pentru orice n e [N*.
2) $4^{n}*5^{n+1} + 4^{n+1}*5^{n}$ supra $3^{n}*7^{n+1}+3^{n+1}*7^{n}-21^{n}$
se simplifica prin 9 pentru orice n e [N*

Answer 1

1)La numarator dam factor comun 2^(n) si se va scrie 2^(n)(2³+2²+2+1)=2^(n)(8+4+3)=15*2^(n)
la numitor dam factor comun 3^n si ramane 3^n(3²+2*3+1)=16*3^n
15*2^n/16*3^n=3*2*5*2^(n-1)/3*2*8*3^(n-1) si precum observi 3*2=6 => ca expresia se simplifica cu 6 oricare ar fi n€N*
2)la numarator dam factor comun 4^n*5^n si la numitor 7^n*3^n
avem: 20^n(4+5)/21^n(7+3-1)=9*20^n/9*21^n=20^n/21^n=(20/21)^n deci expresia se simplifica cu 9 oricare ar fi n€N*