Arătați ca funcția f:C-> C ,f(z)= 2z+ 3z(conjugat) este inversabila. Determinati f^-1.
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Fie z=a+bi un numar complex cu a partea reala si b partea imaginara, iar z(barat)=a-bi conjugatul numarului complex z.
Atunci f(z) devine:
f(z)=2(a+bi)+3(a-bi)=2a+2bi+3a-3bi=5a-bi
Aratam ca f este injectiva.
f este injectiva daca ∀z₁,z₂∈C cu f(z₁)=f(z₂) => z₁=z₂.
f(z₁)=5a₁-b₁i
f(z₂)=5a₂-b₂i
f(z₁)=f(z₂)
5a₁-b₁i=5a₂-b₂i
Prin identificare avem:
5a₁=5a₂ => a₁=a₂
-b₁=-b₂ => b₁=b₂
Deci, z₁=z₂ si f este invectiva.
Aratam ca f este surjectiva.
f este surjectiva daca ∀y∈C, ∃z∈C astfel incat f(z)=y.
f(z)=5a-bi
y=c+di, y un numar complex.
f(z)=y
5a-bi=c+di
Prin identificare avem:
5a=c => a=c/5
-b=d => b=-d
z=c/5-di, z∈C
Deci, f este surjectiva.
Cum f este injectiva si surjectiva, f este bijectiva.
Stim ca o functie bijectiva este si inversabila.
Determinam inversa functiei f:
f(z)=y
f(z)=5a-bi
y=c+di, y un numar complex.
5a-bi=c+di
Prin identificare avem:
5a=c => a=c/5
-b=d => b=-d
Deci, f⁻¹(z)=c/5-di sau rescris avem: f⁻¹(z)=a/5-bi