Question

Aratati ca functia f:R -> R f(x) = $x^{3}$ + x + 1 , este injectiva.

Answer 1

Răspuns

O   functie   este    injectiva <=>f(x1)=f(x2)=> x1=x2

fie    x1, x2 a.i   f(x1)=f(x2)

x1³+x1+1=x2³+x2+1

x1³+x1+1-x2³-x2-1=0

(x1³-x2³)+(x1-x2)=0

(x1-x2)(x1²+x1*x2+x2²)+(x1-x2)=0

(x1-x2)[(x1²+x1*x2+x2²)+1]=0

x1=x2

Analizam   si     paranteza dreapta

(x1²+x1*x2+x2²)+1=2(x1²+x1*x2+x2²)/2+1

(2x1²+2x1*x2+x2x2²)/2+1=

[(x1²+x2²)+(x1²+2x1*x2+x2²)]/2+1

[x1²+x2²+(x1+x2)²]/2+1>0

f(x1)=f(x2)=. > x1=x2   functia   este    injectiva

Explicație pas cu pas: