Question

Arătați că (G,*) este chiar grup punctul c) poza

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Daca G este monoid inseamna ca respecta Legea de compoziție internă (oricare x, y din G => x * y apartine lui G, cu * am notat operatia), Asociativitate (oricare x, y, z din G => (x * y) * z = x * (y * z), si are element neutru(exista e din G a.i. orice x din G => x * e = e * x = x).

Ni se da ca e monoid deci toate proprietatile de mai sus sunt valabile. Pentru a fi grup mai trebuie sa respecte axioma elementelor simetrice ( pentru orice x din G exista y din G a. i.  x * y = y * x = e (elementul neutru))

1. Aflam elementul neutru:

x * e = e * x = x, unde x este o matrice 3 x 3, stim ca matricea

I3 = ( 1, 0, 0

      0, 1, 0

      0, 0, 1 ), are proprietate I3 * x = x * I3 = x, orice x matrice 3x3

deci I3 va fi elementul neutru

2. Demonstram ca pentru orice matrice X (3x3 de forma X = I3 + a * A) exista o matrice X^-1 astfel incat X * X ^ -1 = I3 (elementul neutru)

Stim ca X^-1 va fi inversa matricei X. Astfel trebuie sa demonstram ca pentru orice X este inversa (determinant X diferit de 0) si ca forma inversa apartine lui G

Calculam determinant:

Fie X o matrice din G, astfel

det(X) = det ( I3 + a * A) = det (1 + a, a * 2,      -3 * a

                                                 2 * a, 1 + 4 * a, -6 * a,

                                                 3 * a, 6 * a,       1 - 9 *a)

= 1 - 4 * a (am pus direct rezultat, te rog verfica)

Inversa exista daca det(X) diferit de 0, adica 1 - 4 * a diferit de 0, aceasta este 0 pentru a = 1 / 4, dar in G a nu poate fi 1/4 (asa s-a definit G)

=> exista inversa pentru orice x din G

Mai trebuie sa aratam ca inversa apartine lui G

Inversa e de forma (pun doar rezultatul, caci sunt doar calcule goale si urmezi algoritmul de determinarea inversei):

( (5*a - 1)/(4*a - 1),     (2*a)/(4*a - 1),     -(3*a)/(4*a - 1)

    (2*a)/(4*a - 1), (8*a - 1)/(4*a - 1),     -(6*a)/(4*a - 1)]

    (3*a)/(4*a - 1),     (6*a)/(4*a - 1), -(5*a + 1)/(4*a - 1) )

Pe rand

primul element (5 * a - 1) / ( 4 * a -1 ) = 1 + ( 5 *a - 1) / ( 4 * a - 1) - 1 =

1 + (5 * a - 1 - (4 * a - 1) / (4 * a -1 ) = 1 + a / (4 * a - 1)

elemtul din mijloc (8 * a - 1) / (4 * a - 1) = 1 + ( 8 * a - 1) / ( 4 * a - 1) - 1 =

1 + (8 * a - 1 - 4 * a + 1) / (4 * a - 1) = 1 + 4 * a / (4 * a - 1)

element dreapta jos -(5 * a + 1) / ( 4 * a - 1) = 1 - (5 * a + 1) / ( 4 * a -1 ) - 1

= 1 - (5 * a + 1 + 4 * a - 1) / (4 * a - 1) = 1 - ( 9 * a ) / ( 4 * a - 1)

Rescriem Inversa astfel:

(  1 + a / (4 * a - 1),     (2*a)/(4*a - 1),     -(3*a)/(4*a - 1)

    (2*a)/(4*a - 1), 1 + 4 * a / (4 * a - 1),     -(6*a)/(4*a - 1)]

    (3*a)/(4*a - 1),     (6*a)/(4*a - 1),  1 - ( 9 * a ) / ( 4 * a - 1) ),

se vede ca a / (4 * a - 1) apare in fiecare element, hai sa il notam cu t, astfel inversa este

( 1 + t, 2 * t, - 3 * t

2 * t,  1 + 4 * t, - 6 * t,

3 * t, 6 * t, 1 - 9 * t ) =

I3 + t * G, forma care ne trebuie

sa revenim la t = a / ( 4 * a -1 ), a diferit de 1 /4 deci exista t pentru orice a, asta e bine inseamna orice matrice va avea inversa

singura conditie ramasa este ca t sa fie diferit de 1 / 4, cum a e la numarator inseamna a = 1 => t = 1 / (4 - 1) = 1/3 si se vede ca cum e -1 jos nu se poate ca t sa fie 1 /4 (daca t era a / 4 * a, atunci era problema ca era 1 / 4)

Astfel am demostrat ca pentru orice matrice X din G, exista o matrice X^-1 tot din G astfel incat X * X^-1 = I3 => am demonstrat axioma elementelor simetrice => monoidul G este si grup, ceea ce trebuia sa aratam