Question

Aratati ca graficele functiilor f:R->R , f(x)= mx^2 + (2m+1)x +5 contin un punct independent de m apartine R stelat

Answer 1

Salut,

Fie P(x₀, y₀) punctul căutat, deci trebuie să aflăm pe x₀ și pe y₀. Punctul P se mai numește și punct fix, pentru graficele familiilor de parabole.

Asta înseamnă că f(x₀) = y₀, adică mx₀² + (2m + 1)·x₀ + 5 = y₀.

Ordonăm după m:

mx₀² + 2m·x₀ + x₀ + 5 = y₀, sau m·(x₀² + 2x₀) + x₀ + 5 -- y₀ = 0 (1).

Cum m nu poate fi egal cu 0 (vezi enunțul), avem obligatoriu că:

x₀² + 2x₀ = 0 și  x₀ + 5 -- y₀ = 0, sau x₀·(x₀ + 2) = 0 și  x₀ + 5 -- y₀ = 0.

Dacă nu ar fi așa, atunci relația/ecuația (1) nu ar fi niciodată adevărată.

Din ecuația x₀·(x₀ + 2) = 0, avem că x₀ = 0, din a doua relație avem că y₀ = 5, deci primul punct P este P(0, 5).

Tot din ecuația x₀·(x₀ + 2) = 0, avem că x₀ = --2, din a doua relație avem că y₀ = 3, deci al doilea punct P este P(--2, 3).

Asta înseamnă că în acest caz particular, familia de parabole din enunț are două puncte fixe.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.