Question

Aratati ca in orice triunghi ABC are loc egalitatea:
$\frac{a*b*cosC+b*c*cosA+a*c*cosB}{sin^2A+sin^2B+sin^2C} =2R^2$

Answer 1

Aplicăm teorema cosinusului și membrul drept al egalității devine:

[tex]\it \dfrac{1}{2} \dfrac{a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2}{sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C} = [/tex]

[tex] \it = \dfrac{1}{2} \dfrac{a^2+b^2+c^2}{sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C} [/tex]

Aplicăm teorema sinusurilor si expresia devine:

$\it\dfrac{1}{2} \dfrac{4R^2(sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C)}{sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C} =\dfrac{1}{2}\cdot 4R^2 = 2R^2$