Question

Aratati ca in orice triunghi ABC are loc realtia: a^2 * sin2B +b^2 *sin2C= 4S
S-aria triunghiului

Answer 1

Știm formulele:

sin 2x=2sinx*cosx

a/sinA=b/sinB=c/sinC, de unde rezulta:

a*sinB=b*sinA;  c*sinB=b*sinC

cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

(ab*sinC)/2=(ac*sinB)/2=(bc*sinA)/2=S

Deci,

c²* sin2B +b²*sin2C =

=2c²* sinB*cosB+2b²* sinC*cosC

=2c²* sinB*cosB+2 b*c*sinB*cosC; (l-am inlocuit pe b*sinC cu c*sinB)

=2c*sinB( c* cosB+b*cosC); (am dat factor comun pe 2c*sinB)

=2c*sinB[ c*(a²+c²-b²)/(2ac) +b*(a²+b²-c²)/(2ab)]; (am inlocuit cosB si cosC)

=2c*sinB[ (a²+c²-b²+ a²+b²-c²)/(2a)

= 2c*sinB*2a²/(2a)

=4[(ac*sinB)/2]

=4S