Question

aratati ca integrala respectiva este <√2 stiind ca x^n>1

Answer 1

Proprietatea de monotonie

Answer 2

Răspuns

n>1 . in nici un caz x^n>1

0<x<1 deci x^n<1, (pt n>1,) este <1

se arata ca integrale definite sunt numere din ce in ce mai mici pe masura ce n creste..iar prima integrala definita , cea  pt n=1,  se arata ca este mai mica decat √2

Explicație pas cu pas:

fie I1=∫√(x+1)dx de la 0 la 1<∫√(1+1)dx de la 0 la 1=x*√2 | de la 0 la 1=

=√2*1-√2*0=√2

pt n>1, I indice n cea din poza

x^n+1≤x+1 , ∀x∈(0;1) si ∀n∈N*. n>1

cum √x este functie crescatoare

atunci si √(x^n+1)≤√(x+1), ∀x∈(0;1) si ∀n∈N*. n>1

atunci si ∫√(x^n+1)dx de la 0 la 1 ≤∫√(x+1)dx dela 0 la 1<I1<√2,

C.C.T.D.