Question

Aratati ca log in baza a din bc*log in baza b din ac* log in baza c din ab>=8​

Answer 1

Răspuns:

Bănuiesc că a, b, c sunt toate trei ori subunitare, ori supraunitare, pentru ca logaritmii să fie pozitivi.

Inegalitatea se mai scrie

$(\log_ab+\log_ac)(\log_ba+\log_bc)(\log_ca+\log_cb)\ge 8$

Aplicăm inegalitatea mediilor

$\log_ab+\log_ac\ge 2\sqrt{\log_ab\log_ac}\\\log_ba+\log_bc\ge 2\sqrt{\log_ba\log_bc}\\\log_ca+\log_cb\ge 2\sqrt{\log_ca\log_cb}$

Înmulțind inegalitățile membru cu membru și ținând cont că

$\log_xy\cdot\log_yx=1$

rezultă inegalitatea din enunț.

Explicație pas cu pas: