Question

Aratati ca mijloacele laturilor unui triunghi si piciorul unei inaltimi sunt varfurile unui trapez isoscel.

Answer 1

Inaltime= perpendiculara din varf pe latura opusa
Stim ca trapezul este patrulaterul cu doua laturi paralele si Trapezul isoscel= trapezul cu laturile neparalele congruente;
Fie D piciorul inaltimii dusa din A, adica AD_|_ BC, si notam cu M, N si P mijloacele laturilor AB, AC si BC.(vezi desen din poza atasata)

Avem Definitia si Teorema liniei mijlocii:
Intr-un triunghi, segmentul ale cărui extremităţi sunt mijloacele a două laturi se numeşte linie mijlocie a triunghiului si  este paralelă cu cea de a treia latură şi are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia, adică
MN ||  BC  si MN= BC/2

Pentru ca P si D ∈ BC, DP || MN => MNPD este trapez, cu MN si DP baze.

De asemena conform definitiei si teoremei liniei mijlocii, NP || AB, si :
NP=AB/2=AM=MB (1)

Daca AD _|_ BC, adtunci Δ ABD este dreptunghic cu <D=90°
Stim ca M este mijlocul laturii AB, Conform Teoremei medianei din unghiul drept: Mediana din unghiul drept este jumatate din ipotenuza =>
DM = AB/2=AM=MB  (2)

(1) , (2) => NP=DM

Deci , in trapezul MNPD , cu MN si DP baze,   laturile neparalele NP si DM sunt congruente => MNPD este trapez isoscel!
Q.E.D.