Question

arătați că minimul funcției f:R-> R, f(x)=
${x}^{4} - 2 {x}^{2}$
este egal cu -1
​

Answer 1

Salut,

Minimul funcției este f(m), unde m este soluția ecuației:

f ' (x) = 0, unde f ' (x) este derivata funcției f(x) din enunț.

f ' (x) = (x⁴) ' + (--2x²) ' = 4x³ -- 2·2x = 4x³ --  4x = 4x(x² -- 1).

Ecuația de rezolvat este deci 4x(x² -- 1) = 0.

Prima soluție este m₁ = 0, iar f(0) = 0⁴ -- 2·0² = 0 -- 0, deci f(0) = 0.

A doua soluție provine din ecuația x² -- 1 = 0, sau x² = +1, deci m₂ = --1, iar f(--1) = (--1)⁴ -- 2·(--1)² = 1 -- 2·1 = --1, deci f(--1) = --1.

A treia soluție provine tot din ecuația x² -- 1 = 0, sau x² = +1, deci m₃ = +1, iar f(+1) = (+1)⁴ -- 2·(+1)² = 1 -- 2·1 = --1, deci f(+1) = --1.

Avem deci că m₁ este coordonata x a punctului de minim local (este o valoare minimă, dar nu este cea mai mică).

Din cele de mai sus rezultă că minimul absolut (adică cea mai mică valoare posibilă a funcției; așa ar fi trebuit să fi scris în enunț) este --1, ceea ce trebuia demonstrat.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.