Question

aratati ca n=1¹⁹⁹⁷+2¹⁹⁹⁷+..........+1997¹⁹⁹⁷ nu este patrat perfect

Answer 1

n=1¹⁹⁹⁷+2¹⁹⁹⁷+..........+1997¹⁹⁹⁷

puterile numerelor in principiu (inafara de 1,,5 , 6 si 10 si 4 si 9) au ultima cifra , seturi de 4 ce se repeta:
de exemplu 7
7¹=7
7²=49
7³=343
7⁴=2401
7⁵16807
7⁶=117649
....
referitor la 9 si 4 , ultima cifra se repeta in seturi de 2, 
de ex:
4¹=4
4²=16
4³=64
4⁴=256
5,6 si 10 la orice putere au u.c 5,6 si 0
=> puterea 1997: setul de 4 da restul 1, de asemenea 1997:2 da restul 1=>, ultima cifra a numerelor ridicate la puterea 1997 coincide cu exponentul (fiindca avem restul 1) => 

u.c. a lui 1¹⁹⁹⁷ este 1
u.c a lui 2¹⁹⁹⁷ este 2 
u.c a lui 3¹⁹⁹⁷ este 4 
u.c a lui 4¹⁹⁹⁷ este 4 
u.c a lui 5¹⁹⁹⁷ este 5 
u.c a lui 6¹⁹⁹⁷ este 6 
u.c a lui 7¹⁹⁹⁷ este 7 
u.c a lui 8¹⁹⁹⁷ este 8 
u.c a lui 9¹⁹⁹⁷ este 9 

fiindca numerele ridicate la puterea 1997 , sunt 1+2+3+4+...+1997
1997=setul de 10*199+7 numere

=> ultima cifra a lui n este 3 , pentru ca, insumand ultimele cifre ale tuturor numerelor avem:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)*199+1+2+3+4+5+6+7=
=45*199+28= 8955+28= 8983

=>
n nu este patrat perfect , pentru ca nici un patrat perfect nu are ultima cifra 3!