Question

aratati ca n(n+1)(n+2) este multiplu de 6

Answer 1

n(n+1) este numar par 
n(n+1)(n+2) este nr. par deci este multiplu de 2 
demonstrez că este multiplu de 3
dacă n = 3k atunci
3k(3k+1)(3k+2) multiplu de 3 deci multiplu de 6 
dacă n = 3k+1 atunci
(3k+1)(3k+2)(3k+3) = (3k+1)(3k+2)3(k+1) multiplu de 3 deci multiplu de 6 
dacă n = 3k+2
n(n+1)(n+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+4)=  (3k+2)3(k+1)(3k+4)multiplu de 3 deci multiplu de 6 
n(n+1)(n+2) multiplu de 6 pentru orice n număr natural

Answer 2

produsul a oricaror 2 numere naturale consecutive este divizibil cu 2
n(n+1) se divide cu 2
demonstratie:
n par n=2k
n(n+1)=2k(2k+1) evident ca e divizibil cu 2
n impar, n=2k+1
(2k+1)(2k+2)=(2k+1) x 2(k+1) evident divizibil cu 2

produsul a oricaror 3 numere naturale consecutive este divizibil cu 3
demonstratie:
orice numar natural il putem scrie sub forma:
n=3k
n=3k+1
n=3k+2 stim ca orice numar natural impartit la 3 ne da rest 0;1 sau 2
pentru n=3k, 3k(3k+1)(3k+2) div. cu 3
pentru n=3k+1, (3k+1)(3k+2)(3k+3) se vede ca e div cu 3
pentru n=3k+2, (3k+2)(3k+3)(3k+4) e div cu 3

si acum datorita faptului ca (2;3)=1 rezulta ca produsul a 3 numere nat. consecutive e div cu 2 x 3=6
am facut toata teoria asta pentru ca sa se inteleaga usor aceasta problema
mai departe se poate demonstra ca produsul a 5 numere naturale consecutive este divizibil cu 60