Question

arătați ca nr. 2x+1,3x+2 sunt prime între el indiferent de nr. x

Answer 1

cmmdc(2x+1, 3x+2) =

= cmmdc(2x+1, 3x+2-2x-1)

= cmmdc(2x+1, x+1)

= cmmdc(2x+1-x-1, x+1)

= cmmdc(x, x+1)

= cmmdc(x, x+1-x)

= cmmdc(x, 1)

= 1

Cel mai mare divizor comun dintre 2x+1 și 3x+2 este 1.

⇒ Numerele sunt prime între ele.

Answer 2

Presupunem prin reducere la absurd ca exista d un divizor natural diferit de 1 care sa divida pe 2x+1 si 3x+2

d | (3x+2) => d | 2(3x+2) => d | (6x+4)

d | (2x+1) => d | 3(2x+1) => d | (6x+3)

Din cele doua rezulta ca

d | [(6x+4)-(6x+3)]

<=> d | (6x+4-6x-3)

<=> d | 1 => d=1

Presupunerea facuta este falsa, rezulta ca singurul numar care le divide pe 2x+1 si 3x+2 este 1, asadar sunt prime intre ele.

Am folosit proprietatile:

d | a => d | k·a

d | a si d | b => d | (a+b)