Question

Aratati ca nr a=2^76+2^77+2^78+...+2^102 nu este patrat perfect.
Va rog ! E urgent !
DAU COROANA !

Answer 1

a = 2^76 * (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^26) = 2^76 * (2^27 - 1)
Am ajuns la acest rezultat folosind formula sumei unei progresii geometrice a fiind suma unei progresii geometrice o rația 2. (Exemplu de progresie geometrică : 5;25;125;.....;3125 cu rația 5)
Formula sumei este egală cu S=b1*{[(q^n)-1]/q-1} unde b1 este primul termen al sumei adică 2^76 ;q este rația iar n este numărul de termeni din suma în cazul nostru 27 (102-75=27) iar de aici S=2^76*(2^27-1)

Stim ca: 2^1=2; 2^2=4; 2^3=8; 2^4=16; 2^5=32; 2^6=64 etc. Observam ca 2^n se termina cu cifra 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 etc.
Numarul 2^76 = (2^19)^4 se termina cu cifra 6.
Numarul 2^27 = 2^(24+3) = 2^24 * 2^3 se termina cu cifra 8.
Ne întoarcem la suma ca să aflăm ultima cifră a produsului deci:
Rezulta: 6*(8-1) = 6*7 = 42, deci ultima cifra a numarului a este 2. Dar un patrat perfect se poate termina doar cu 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 (exemple: 1^2=1; 2^2=4; 3^2=9; 4^2=16; 5^2=25; 6^2=36; 7^2=49; 8^2=64; 9^2=81; 10^2=100 etc.). Prin urmare, numarul a nu poate fi patrat perfect.