Question

Aratati ca nr. a=5 la puterea n +7 la puterea n nu este patrat perfect ,oricare ar fi numarul natural n

Answer 1

Orice pătrat perfect poate avea ultima cifră doar 0,1, 4, 5, 6, 9.

$a=5^n+7$ nu poate fi pătrat perfect, deoarece ultima ciftă nu este una dintre cele menționate.

Explicație:

$5^n$ are ultima cifră 5, oricare ar fi n∈N/{0}.

De exemplu: 
[tex]5^1=5~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~5\\\\ 5^2=25~~~~~~~~,are~ultima~cifra~5\\\\ 5^3=125~~~~~~~,are~ultima~cifra~5 [/tex]
Și așa mai departe. 

Deci $a=5^n+7$ va fi un suma unui număr care se termină în 5 și 7. Iar orice astfel de număr are ultima cifră 2, care nu se regăsește printre 0,1, 4, 5, 6, 9.

Exemple:

$5^1+7=12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2\\\\ 5^2+7=25+7=32~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2\\\\ 5^3=125+7=132~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2$
Și așa mai departe.

Sigurul caz diferit este pentru n=0, când $a=5^n+7=5^0+7=1+7=8$, care de asemenea nu este pătrat perfect.