Matematică, întrebare adresată de mihaelaspirido, 9 ani în urmă

Aratati ca nr. N=5^(2n)×47+25^(2n+1)+90×6^n+6 ^(n+1)
este divizibio cu 24 pentru orice numar natural n.
Va roooooooooog mult ajutati- ma !!!!!!!!!!! Dau coroana !

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de breakingnews
16
Este o greseala de tipar in exercitiul postat (posibil gresit chiar in carte)
N=5^(2n)×47+25^(n+1)+90×6^n+6 ^(n+1) se divide cu 24

Fie P(n) = 5^(2n)×47+25^(n+1)+90×6^n+6 ^(n+1) ≥ 0 (merge si cu 0 !)

Pasul 1, verificam pentru n=0 si n=1: 

Pentru n=0, P(0)= 5^(2·0)×47+25^(0+1)+90×6^0+6^(0+1)=:

=>P(0)=1×47+25^(1+1)+90×1+6^1=>

=>P(0)=47+25^2+90+6=>P(0)=47+625+96=>P(0)=768, deci divizibil cu 24.

Pentru n=1, P(1)= 5^(2·1)×47+25^(1+1)+90×6^1+6^(1+1)=:

=>P(1)=5^2×47+25^(1+1)+90×6+6^2=>

=>P(1)=25×47+25^2+540+36=>

=>P(1)=1175+625+576=>P(1)=2376, deci divizibil cu 24. (dovada ca undeva este o greseala de tipar:fie copiat gresit, fie eronat scris in carte!)


Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.

Deci 5^(2n)×47+25^(n+1)+90×6^n+6 ^(n+1)=24a (divizibil cu 24)

P(n+1) = 5^[2(n+1)]×47+25^[(n+1)+1)]+90×6^(n+1)+6 ^[(n+1)+1]=>

=>P(n+1) =5^(2n+2) ×47+25^[(n+1)+1)]+90×6^(n+1)+6 ^[(n+1)+1]=>

=>P(n+1) =5^(2n+2) × 47 + 25^(n+1)×25+90 × 6^n ×6 + 6^(n+1) × 6=>

=>P(n+1) = 5^(2n+2)×47+[(5^2)]^(n+1)×25+90 × 6^(n+1) + 6^(n+1) × 6=> 

=>P(n+1) =5^(2n+2)× 47 + 5^(2n+2)×25+6^(n+1) × (90 + 6)=>

=>P(n+1) =5^(2n+2)×(47+25)+6^(n+1)×96=>

=>P(n+1) =5^(2n+2)× 72+6^(n+1)×96=>

=>P(n+1) =24×[5^(2n+2) × 3+6^(n+1) ×4]=>P(n+1) divizibil cu 24.

Rezulta P(n) adevarat.


mihaelaspirido: este in carte
mihaelaspirido: greseala
mihaelaspirido: multumesc
breakingnews: cu placere
Alte întrebări interesante