Question

Aratati ca nr. nat. care dau restul 2 sau 3 la impartirea cu 5 nu sunt patrate perfecte.

Answer 1

orice numar natural poate fi scris in una din urmatoarele moduri:
1)  n=5m
2)  n=5m+1
3)  n=5m+2
4)  n=5m+3
5)  n=5m+4

ridicam la patrat:
1)  n^2=25m^2
2)  n^2=25m^2+10m+1=5(5m^2+2m)+1
3)  n^2=25m^2+20m+4=5(5m^2+4m)+4
4)  n^2=25m^2+30m+9=5(5m^2+6m+1)+4
5)  n^2=25m^2+40m+16=5(5m^2+8m+3)+1

se observa ca orice numar natural  patrat perfect e de forma:
n=5q+r, r={0,1,4}
prin urmare formele n=5p+r cu r={2,3} nu pot fi patrate perfecte