Question

arătați ca nr p=11+11^2+11^3+11^4+...+11^2004-63 se divide cu 7

Answer 1

deoarece numarul 63 este deja divizibil cu 7, scaderea lui nu afecteaza cu nimic rezultatul

deci trebuie sa arat ca 11+11^2+...+11^2004 este div cu 7

dau factor comun 11
11(1+11+11^2+....+11^2003)
se observa ca de fiecare data cand dau factor comun, o sa rezulte un numar *11, dupa care mai rezulta si un numar de +1
acel numar de +1 este egal cu puterea ultimului termen initiala - puterea ultimului termen dupa factor comun

de exemplu in cazul de mai sus este 2004-2003, adica 1 +1, si se si vede in paranteza

dau factor comun pana raman doar cu 2 termeni de 11

si rezulta
11(1+11(1+11(.........1+11(1+11+11^2))))

se observa ca numarul din ultima paranteza este div cu 7 (deoarece 133/7=19)

inmultit cu 11, un nr div cu 7 ramane tot div cu 7, dupa adunat cu 1, o sa ramana cu restul 1, dupa daca iar este inmultit cu 11 (deoarece sunt o gramada de paranteze 1+11()) o sa ramana de asemenea cu restul 1

deci trebuie doar sa numaram cati de +1 sunt, daca sunt un numar div cu 7, atunci tot numarul va fi div cu 7

pentru a vedea cati de +1 sunt, aplicam formula 2004-2=2002 (e mai sus explicata)
deci sunt 2002 +1
iar 2002 este divizibil cu 7 (2002/7=286)

deci numarul 11(1+11(1+11(......1+11(1+11+11^2)))) este divizibil cu 7

rezulta ca 11+11^2+11^3+.....+11^2004 este divizibil cu 7

si deoarece si 63 este divizibil cu 7,
rezulta ca P este divizibil cu 7