Question

Aratati ca nu exista numerele reale x,y,z, astfel incat x^2 < 2y - 1, y^2 < 2x - 1 , z^2 < 2x - 1.

Answer 1

Sa presupunem ca numerele reale x,y,z satisfac conditiile din enunt.

x^2<2y-1 <=> (x^2+1)/2<y.
Cum (x^2+1)/2>=|x|, deducem |x|<y, de unde rezulta x^2<y^2.

Din x^2<y^2 si y^2<2x-1 deducem x^2<2x-1 adica x^2-2x+1<0 adica (x-1)^2<0, contradictie!

Am ajuns la contradictie => presupunerea este falsa => nu exista numere reale x,y,z cu proprietatile din enunt.