Question

Aratati ca nu putem alege 34 de numere naturale diferite si nedivizibile cu 3 a căror suma sa fie 860

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Calculăm suma celor mai mici numere naturale pe care le putem alege.

Începând cu numărul 1 (deoarece 0 este divizibil cu 3), alegem primele 34 de numere care NU sunt multiplu de 3. Din 3 numere consecutive, păstrăm două și „sărim” unul.

34 + 34 : 2 = 34 + 17 = 51   ⇒  alegem numerele până la 51, sărindu-le pe cele divizibile cu 3:

1, 2, 4, 5, 7, 8, ...., 49, 50

Suma acestor numere o aflăm folosind formula sumei primelor n numere dintr-o progresie aritmetică.

Sₙ = n (a₁ + aₙ) / 2

În cazul nostru, n = 17 și avem două progresii:

i)  1, 4, 7, ..., 49

S = 17 (1 + 49) / 2 = 17 · 25 = 425

ii) 2, 5, 8, ...., 50

S = 17 (2 + 50) / 2 = 17 · 26 = 442

⇒  suma celor 34 de numere este :

S = 425 + 442 = 867

deci S > 860 chiar dacă alegem cele mai mici numere posibile.

⇒ nu se pot alege 34 de numere în condițiile date care să aibă suma 860