Question

aratati ca numarul 1+3+5+...+(2n-1)este patrat

Answer 1

deoarece este suma de numere impare, am sa mai adun cate un 1 la fiecare termen
in total sunt n termeni
(de exemplu daca luam n 50, o sa vina ca este suma 1+3+5+....99 rezulta 50 de termeni)
deci, inseamna ca adunam cate 1 de n ori ca sa fie numere pare, si dupa scadem 1*n ca suma sa fie aceeasi

deci suma devine
2+4+6+.....+(2n)-n (1*n)
dau factor comun pe 2 si rezulta

2(1+2+3+...n)-n
dupa formula:
suma de la 1 la n este n(n+1)/2
rezulta ca in paranteza suma este n(n+1)/2

====> 2*n*(n+1)/2-n
se simplifica 2 si rezulta
n*(n+1)-n
dau factor comun pe n
n(n+1-1)

Deci suma este : n*n, care este patrat perfect