Question

Aratati ca numarul (2^n + 5)^2016 - 1 se divide cu 10, oricare ar fi n nunar natural nenul.

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Bineinteles ca nu vei putea face calcule, dar aplici propietatile legate de ridicarea la putere a unei cifre (acestea au o repetitivitate!):

pentru numere care se termina in cifra 2:

2^1=2   2^2=4   2^3=8   2^4=16

U[2^(4k+1)]=2     U[2^(4k+2)]=4    U[2^(4k+3)]=8       U[2^(4k+1)]=6

Analog se gandeste pentru numerele ce se termina in 1, 3, 7, 9 (despre care vom vorbi mai departe!!!)

deci U(2^n)=2, 4, 6 sau 8

atunci U(2^n+5)=7, 9, 1 sau 3

dar U(1^2016)=U(1^(4*504)=1

      U(3^2016)=U(3^(4*504)=1

      U(7^2016)=U(1^(4*504)=1

      U(9^2016)=U(9^(2*1008)=1

Evident ca U[(2^n+5)^2016-1]=0 deci numerele de aceasta forma sunt divizibile cu 10