Arătaţi că numărul A=1+2^1+ 2^2 + ... + 2^124 este divizibil cu: 5; 7; 15
Aratati ca numarul B=1+3^1+3^2+....+3^116 este divizibil cu 13.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
A = 1+2¹+2²+....+2¹²⁴ este divizibil cu 5 ; 7 ; 15 ?
2A = 2+2²+2³+...+2¹²⁴+2¹²⁵ = a-1+2¹²⁵ =>
a = 2¹²⁵-1
u(2¹) = 2 ; (2²) = 4 ; u(2³) = 8 ; u(2⁴) = 6
se repeta din 4 in 4
125 = 4·31+1 => u(2¹²⁵) = 2 => u(a) = u(2-1 ) = 1 =>
A nu este divizibil nici cu 5 nici cu 15 , deoarece ar fi
trebuit sa se termine in 0 sau 5
A' = (1+2¹+2²)+(2³+2⁴+2⁵)+....(2¹²³+2¹²⁴+2¹²⁵)
A' = 7(1+2³+2⁶+...+2¹²³) divizibil cu 7 ;
dar A = 1+2¹+2²+....+2¹²⁴ nu este divizibil nici cu 7
B = 1+3¹+3²+3³+....+3¹¹⁶ divizibil cu 13 ?
B' = 1+3¹+3²+3³+....+3¹¹⁶+3¹¹⁷
B' = (1+3¹+3²)+(3³+3⁴+3⁵)+ (3⁶+3⁷+3⁸)+....+(3¹¹⁵+3¹¹⁶+3¹¹⁷)
B' = (1+3+9) + 3³(1+3+9) + 3⁶(1+3+9)+....+3¹¹⁵(1+3+9)
B' = 13(1+3³+3⁶+....+3¹¹⁵) divizibil cu 13
Dar B = 1+3¹+3²+3³+....+3¹¹⁶ nu este divizibil cu 13
La ambele subpuncte lipseste ultimul termen care ar
demonstra divizibilitatea ceruta.