Question

Aratati ca numarul A=1+3+3²+3³+...3²⁰¹⁹+3²⁰²⁰+3²⁰²¹ este divizibil cu: a)4
b)13​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

A = 1+3+3²+3³+...3²⁰¹⁹+3²⁰²⁰+3²⁰²¹

Suma conține 2022 termeni.

a) Grupând câte doi termeni consecutivi (e posibil, deoarece 2 | 2022), ⇒

A=(1+3) + (3²+3³) + ... + (3²⁰²⁰+3²⁰²¹)= 1·(1+3) + 3²·(1+3) + ... + 3²⁰²⁰·(1+3)=

=(1+3)·(1+3²+...+3²⁰²⁰)=4·(1+3²+...+3²⁰²⁰)

Deci A  este divizibil cu 4.

b) Grupând câte 3 termeni consecutivi (e posibil, deoarece 3 | 2022), ⇒

A=(1+3+3²)+(3³+3⁴+3⁵)+...+(3²⁰¹⁹+3²⁰²⁰+3²⁰²¹)=

=1·(1+3+3²)+3³·(1+3+3²)+...+3²⁰¹⁹·(1+3+3²)=(1+3+3²)·(1+3³+...+3²⁰¹⁹)=

=(1+3+9)·(1+3³+...+3²⁰¹⁹)=13·(1+3³+...+3²⁰¹⁹).

Deci A este divizibil cu 13.