Question

Aratati ca numarul A=1+6+6^2+...+6^101 este divizibil cu 7x37x43 . 

Answer 1

A = 6⁰ + 6¹+6² + 6³ + 6⁴ + 6⁵+...........+ 6¹⁰¹
In total sunt 102 termeni.
Daca putem dovedi ca A este divizibilcu 7, cu 37 si cu 43, atunci A este divizibil cu produsul lor deoarece 7; 37; 43 sunt numere prime.

Pentru a dovedi ca un sir de puteri este divizibil cu un numar, facem grupari convenabile in sensul ca facem grupe de numar egal de termeni si dam factor comun,  

Verificam sa vedem daca este divizibil cu 7:
Observam ca 6⁰ + 6¹ = 1 + 6 = 7
=>Ar trebui sa grupam tot sirul in grupe de cate 2 termeni.
Verificam daca avem voie:  
102 este divizibil cu 2. => avem voie
A = (6⁰ + 6¹) + (6² + 6³) + (6⁴ + 6⁵) + ........+ (6¹⁰⁰ + 6¹⁰¹) =
   = (6⁰ + 6¹) + 6²(6⁰ + 6¹) + 6⁴(6⁰ + 6¹) + ...... + 6¹⁰⁰(6⁰ + 6¹) =
   = (6 + 6¹)(1 + 6² + 6⁴ + ............+ 6¹⁰⁰) = 
   = 7(1 + 6² + 6⁴ + ...........+ 6¹⁰⁰)  
=> este divizibil cu 7.

Verificam daca este divizibil cu  43    (pe 37 il lasam la urma)
Observam ca 6⁰ + 6¹ + 6² = 1 + 6 + 36 = 43
=> Ar trebui sa grupam tot sirul in grupe de cate 3 termeni.
Verificam daca avem voie:
102 este divizibil cu 3. => avem voie
A = (6⁰ + 6¹ + 6²) + (6³ + 6⁴ + 6⁵) + (6⁶ + 6⁷ + 6⁸) + ......+ (6⁹⁹ + 6¹⁰⁰ + 6¹⁰¹) = 
   = (6⁰ + 6¹ + 6²) + 6³(6⁰ + 6¹ + 6²) + 6⁶(6⁰ + 6¹ + 6²)+ .......+ 6⁹⁹(6⁰ + 6¹ + 6²)=
   = (6⁰ + 6¹ + 6²)(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹) =
   = (1 + 6 + 36)(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹) =
   = 43(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹)
=> este divizibil cu 43.

Numarul A estee divizibil cu 7 si cu 43, dar tinand cont de faptul ca 7 si 43 sunt numere prime, inseamna ca A este divizibil cu 7 * 43

Verificam daca este divizibil cu  37   
Observam ca
6⁰ + 6² = 1 + 36 = 37
6¹ + 6³ = 6(6⁰ + 6²) = 6(1 + 36) = 6 * 37 
Rezulta ca ar trebui sa grupam tot sirul in grupe de cate 2 termeni, din doi in doi,
adica primul termen cu al treilea apoi al doilea cu al patrulea ....
Daca am avea 10 termeni i-am grupa asa:
1 cu 3  si 2 cu 4
5 cu 7 si 6 cu 8
Termenii 9 si 10 nu-i putem grupa dupa regula asta.
Motivul:  Gruparea de mai sus echivaleaza cu gruparea
sirului in grupe de cate 4 termeni 
 Verificam daca avem voie
102 nu este divizibil cu 4 => Nu avem voie.

Sa ne gandim la alte feluri de grupari:
Descompunem pe 102 in factori primi.
102 = 2 * 3 * 17
Am incercat grupe de cate 6 termeni si de cate 17 termeni si nu a mers.
Alta varianta de grupare nu avem.
=> A nu se divide cu 37 dar  A este divizibil cu 7 * 43 

##########################

Cauze posibile:
1)Problema este o problema capcana pentru cei care nu verifica
divizibilitatea numarului de termeni cu numarul de termeni din grupa.

 2)Greseala in culegere sau in caietul de vacanta. Daca ultimul termen
ar fi fost 6¹⁰⁷ in loc de 6¹⁰¹, atunci am fi savut 108 termeni
unde 108 este divizibil si cu 2 si cu 3 si cu 4

3) A aparut o eroare la editare atunci cand a fost postat

Referitor la 1) si 2): La exponent, cifra 1 si cifra 7 sunt usor de confundat.