Question

Aratati ca numarul A=1+6+6^2+...+6^101 este divizibil cu 7x37x43 Dau coronita !!!

Answer 1

[tex]A=1+6+6^2+...+6^{101}\\ A=(1+6+6^2)+6^3(1+6+6^2)+...+6^{99}(1+6+6^2)\\ A=(1+6+6^2)(1+6^3+....+6^{99})\\ A=43\cdot(1+6^3+6^{99})\Rightarrow A\vdots\ 43\ (1)\\ ..........................................................\\ A=(1+6+6^2+6^3)+6^4(1+6+6^2+6^3)+....+6^{98}(1+6+6^2+\\ +6^3)\\ A=(1+6+6^2+6^3)(1+6^4+.....+6^{98})\\ A=(7+36+216)(1+6^4+...+6^{98})\\ A=259\cdot(1+6^4+...+6^{98})\\ A=7\cdot 37\cdot (1+6^4+...+6^{98})\RightarrowA\vdots\ 7\cdot 37\ (2)\\ [/tex]
$Din\ (1)\ si\ (2)\Rightarrow A\vdots\ 7\cdot 37\cdot 43$