Question

Arătaţi că numărul A = 1 +7+7²+...+7199⁹ se divide cu 400. ​

Answer 1

Răspuns:

A este divizibil cu 400

Explicație pas cu pas:

observăm că:

$1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3} = 1 + 7 + 49 + 343 = \bf 400$

suma are 2000 de termeni, pe care îi putem grupa câte 4:

$A = (1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + ({7}^{4} + {7}^{5} + {7}^{6} + {7}^{7}) + ... + ({7}^{1996} + {7}^{1997} + {7}^{1998} + {7}^{1999}) = (1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + {7}^{4} \cdot (1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) + ... + {7}^{1996} \cdot (1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) = (1 + {7}^{1} + {7}^{2} + {7}^{3}) \cdot (1 + {7}^{4} + ... + {7}^{1996}) = 400 \cdot (1 + {7}^{4} + ... + {7}^{1996} ) \ \ \red{ \bf \vdots \ \ 400}$

=> numărul A este divizibil cu 400

q.e.d.