Question

Aratati ca numarul A=1+$3^{2}+ 3^{4}+ 3^{6}+....+ 3^{2014}$ se divide cu 13

Answer 1

$n= 3^{0}+ 3^{2}+3^{4}+3^{6}+..........+3^{2014}$
Folosim sirul exponentilor pentru a afla numarul termenilor:
Nr. termenilor = [(2014 - 0) / 2] + 1 = (2014 / 2) + 1 = 1007 + 1 = 1008
1008 este divizibil cu 3

Grupam termenii sirului cate 3
Avem voie pentru ca numarul de termeni, (1008), este multiplu de 3

$n= 3^{0}+ 3^{2}+3^{4}+3^{6}+..........+3^{2014} = \\ = n= (3^{0}+ 3^{2}+3^{4})+(3^{6}+3^{8} + 3^{10}) + ....+ (3^{2010}+ 3^{2012} + 3^{2014})= \\ =(3^{0}+ 3^{2}+3^{4}) + 3^{6}(3^{0}+3^{2} + 3^{4})+...3^{2010}(3^{0}+ 3^{2}+3^{4})= \\ =(3^{0}+ 3^{2}+3^{4})( 3^{0}+ 3^{6}+......3^{2010})= \\ =(1+ 9+81)( 3^{0}+ 3^{6}+......3^{2010})= \\ =91( 3^{0}+ 3^{6}+......3^{2010})= \\ =7*13*( 3^{0}+ 3^{6}+......3^{2010}) \\ cctd$