Question

Aratati ca numarul a=10³+21³+32³+...+109³+120³ este divizibil cu 11.Va rog frumos ajutati-ma,pentru maine.Dau coroana!!!!

Answer 1

Am reusit doar o parte din demonstratie:

10³=(11-1)³=(11-1)(11²+11+1)=11*10*(1*11+2*1)-10*10
21³=(22-1)³=(22-1)(22²+22+1)=11*21(2*11+2*2)-21*21

98³=(99-1)³=(99-1)(99²+99+1)=11*98(9*11*2*9)-98*98

Acum trebuie adunate si dat factor comun 11, apoi grupate cumva (10*10, 21*21 ....98*98) astfel incat sa dai pe 11 factor comun. Daca reusesti si asta ai demonstrat divizibilitatea cu 11.

Mi-a venit o idee. Incearca in stilul asta:
10*10=(11-1)(11-1)=(11-1)²=11²-2*11+1= 11(1*11-2*1+1)-10
21*21=(22-1)(22-1)=(22-1)²=22²-2*22+1=11(2*11-2*2+1)-10

98*98=(99-1)(99-1)=(99-1)²=99²-2*99+1=11(9*11-2*9+1)-10

Aici se da factor pe 11 si -10 il ai de 11 ori. Si gata demonstratia.