Question

Aratati ca numarul A= 2^1504 + 2^1505 + .... + 2^2002 nu este patrat perfect.

AM NEVOIE REPEDE!!!

Answer 1

[tex]A=2^{1504}+2^{1505}+\ldots+2^{2002}|\cdot 2\\ 2A=2^{1505}+2^{1506}+\ldots +2^{2003}\\ --------------\text{Le scadem}\\ 2A-A=2^{2003}-2^{1504}\\ Deci\ A=2^{2003}-2^{1504}\\ \text{Mai departe trebuie sa aflam ultima cifra a lui A.}\\ \text{Calculam ciclul puterilor lui 2.}\\ u(2^{1})=2\\ u(2^2)=4\\ u(2^3)=8\\ u(2^4)=6\\ \text{Apoi se repeta.Deci ciclul are lungimea 4.}\\ 2003:4=500,r=3\Rightarrow u(2^{2003})=8\\ 1504:4= 375,r=0\Rightarrow u(2^{1504})=6\\ [/tex]
[tex]u(A)=u(2^{2003}-2^{1054})=u(2^{2003})-u(2^{1504})=8-6=2\\ \text{Stim ca un patrat perfect are ultima cifra 0,1,4,5,6,9.Deci A nu poate}\\ \text{fi patrat perfect.}\\ \text{Observatie:Prin u(a) am notat ultima cifra a lui a.}[/tex]