Question

Aratati că numarul A=2ⁿ+⁴ -2ⁿ+³ +2ⁿ+² -2ⁿ+¹ +2ⁿ se divide cu 11 , unde n € N​

Answer 1

Salut! :)

✎ Arătați că numărul A = 2ⁿ ⁺ ⁴ - 2ⁿ ⁺ ³ + 2ⁿ ⁺ ² - 2ⁿ ⁺ ¹ + 2ⁿ se divide cu 11, unde n ∈ ℕ.

✮ Explicație pas cu pas ✮

• Descompunem exponenții puterilor cu inversa formulei aⁿ × a༝ = aⁿ ⁺ ༝
• Dăm factor comun pe 2ⁿ, calculăm puterile din paranteză, apoi aflăm valoarea parantezei prin scăderi și adunări.

『 Rezolvare 』

A = 2ⁿ ⁺ ⁴ - 2ⁿ ⁺ ³ + 2ⁿ ⁺ ² - 2ⁿ ⁺ ¹ + 2ⁿ

A = 2ⁿ × 2⁴ - 2ⁿ × 2³ + 2ⁿ × 2² - 2ⁿ × 2¹ + 2ⁿ

A = 2ⁿ × ( 2⁴ - 2³ + 2² - 2¹ + 1 )

A = 2ⁿ × ( 16 - 8 + 4 - 2 + 1 )

A = 2ⁿ × ( 8 + 4 - 2 + 1 )

A = 2ⁿ × ( 12 - 2 + 1 )

A = 2ⁿ × ( 10 + 1 )

A = 2ⁿ × 11 ➺ A̲ ̲s̲e̲ ̲d̲i̲v̲i̲d̲e̲ ̲c̲u̲ ̲1̲1̲

Answer 2

Bună !

$\bf A = 2^{n + 4} - 2^{n + 3} + 2^{n + 2} - 2^{n +1}+ 2^{n}$

$\bf Dam\: factor \:comun \:pe\:\underline {2^{n}}$

$\bf A = 2^{n} \cdot \big( {2}^{n + 4 - n} - 2^{n + 3 - n} + 2^{n + 2 - n} - 2^{n +1 - n}+ 2^{n - n} \big)$

$\bf A = 2^{n} \cdot \big( {2}^{4} - 2^{3} + 2^{2} - 2^{1}+ 2^{0} \big)$

$\bf A = 2^{n} \cdot \big( 16- 8 + 4 - 2+ 1 \big)$

$\bf A = 2^{n} \cdot \big(8 + 2+ 1 \big)$

$\bf \purple{ \underline {A = 2^{n} \cdot 11}} \implies \red{\underline{A \: \: \vdots \: \: 11}}$