Question

Aratati ca numarul a=2^76 +2^77+2^78+...+2^102 nu este p.p.

Answer 1

a = 2^76 * (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ..... + 2^26) = 2^76 * (2^27 - 1)
Stim ca: 2^1=2; 2^2=4; 2^3=8; 2^4=16; 2^5=32; 2^6=64 etc. Observam ca 2^n se termina cu cifra 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 etc.
Numarul 2^76 = (2^4)^19 se termina cu cifra 6.
Numarul 2^27 = 2^(24+3) = 2^24 * 2^3 se termina cu cifra 8.
Rezulta: 6*(8-1) = 6*7 = 42, deci ultima cifra a numarului a este 2. Dar un patrat perfect se poate termina doar cu 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 (exemple: 1^2=1; 2^2=4; 3^2=9; 4^2=16; 5^2=25; 6^2=36; 7^2=49; 8^2=64; 9^2=81; 10^2=100 etc.). Prin urmare, numarul a nu poate fi patrat perfect.