Question

Arătați că numărul a=2¹⁵⁰⁴+2¹⁵⁰⁵+......+2²⁰⁰² nu este pătrat perfect​

Answer 1

Răspuns:

a=2¹⁵⁰⁴+2¹⁵⁰⁵+2¹⁵⁰⁶+...+2²⁰⁰²

Prescurtarea U.C. vine de la „ultima cifră”.

U.C. (2¹)=2          U.C. (2⁵)=2

U.C. (2²)=4          U.C. (2⁶)=4

U.C. (2³)=8          U.C. (2⁷)=8

U.C. (2⁴)=6          U.C. (2⁸)=6

La modul general, observăm că există o perioadă între ultima cifra a puterilor lui 2. Avem, în această ordine, seria 2 4 8 6, astfel perioada fiind 4.

Putem scrie:

• pentru n=4k+1, ∀k∈N ⇒ U.C. (2ⁿ)=2
• pentru n=4k+2, ∀k∈N ⇒ U.C. (2ⁿ)=4
• pentru n=4k+3, ∀k∈N ⇒ U.C. (2ⁿ)=8
• pentru n=4k, ∀k∈N ⇒ U.C. (2ⁿ)=6

2¹⁵⁰⁴=2⁴*³⁷⁵ (puterea este de forma 4k) ⇒ U.C. (2¹⁵⁰⁴)=6

2²⁰⁰²=2⁴*⁵⁰⁰⁺² (puterea este de forma 4k+2) ⇒ U.C.(2²⁰⁰²)=4

U.C. (a) = (6+2+4+8) + (6+2+4+8) + ... + (6+2+4) = 2

Știm că dacă un număr se termină cu cifra 2, 3,7 sau 8, acesta nu poate fi pătrat perfect.

Numărul a se termină cu cifra 2, deci el nu este pătrat perfect.