Question

Aratati ca numarul a= 3 + 3 la a doua + 3 la a treia + 3 la a patra +....+ 3 la 2013 e divizibil cu 13.

Answer 1

$a = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + ............+ 3^{2011} + 3^{2012} + 3^{2013}$

Observam ca suma primilor 3 termeni:
 
$3^{1} + 3^{2} + 3^{3} = 3 + 9 + 27 = 39$

este multiplu de 13

Ar trebui sa grupam termenii cate 3, dar trebuie sa ne asiguram ca numarul de termeni este multiplu de 3 pentru a face grupe complete de cate 3 termeni.
Exponentrii termenilor sunt numere naturale de la 1 la 2013 
=> sunt 2013 termeni iar numarul 2013 este divizibil cu 3
deoarece  suma cifrelor este 2 + 0 + 1 + 3 = 6

Acum grupam termenii.

$(3^{1} + 3^{2} + 3^{3}) + (3^{4} + 3^{5} + 3^{6}) + .......... + (3^{2011} + 3^{2012} + 3^{2013})$

Din fiecare grupa dam factor comun

$3^{1}(3^{0} + 3^{1} + 3^{2}) + 3^{4}(3^{0} + 3^{1} + 3^{2}) + ...+3^{2011}(3^{0} + 3^{1} + 3^{2})$

Dam factor comun paranteza de 3 termeni.

$(3^{0} + 3^{1} + 3^{2})( 3^{1} + 3^{4} + 3^{7} + ................+ 3^{2011})$
 
$a = 13 * (3^{1} + 3^{4} + 3^{7} + ..........+ 3^{2011})$

=> numarul "a"  este divizibil cu  13