Question

Arătați că numărul a este număr întreg = (atașez imagine)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$8 - 2 \sqrt{15} = 5 - 2 \sqrt{15} + 3 = {( \sqrt{5} )}^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + {( \sqrt{3} )}^{2} = {( \sqrt{5} - \sqrt{3} )}^{2}$

$8 + 2 \sqrt{15} = 5 + 2 \sqrt{15} + 3 = {( \sqrt{5} )}^{2} + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + {( \sqrt{3} )}^{2} = {( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}^{2}$

$4 - 2 \sqrt{5} = \sqrt{16} - \sqrt{20} < 0 \\ \implies |4 - 2 \sqrt{5}| = 2 \sqrt{5} - 4$

$a = \sqrt{ {( \sqrt{5} - \sqrt{3} )}^{2} } + \sqrt{ {( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}^{2} } - \sqrt{ {(4 - 2 \sqrt{5} )}^{2} } =$

$= |\sqrt{5} - \sqrt{3}| + |\sqrt{5} + \sqrt{3}| - |4 - 2 \sqrt{5} |$

$= \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3} - (2 \sqrt{5} - 4)$

$= 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 4 = \bf 4 \in \mathbb{Z}$

q.e.d.