Question

Aratati ca numarul a=(x^2-x)(x^2+3x+2)+1•2•3•4 este divizibil cu 24,oricare ar fi x € Z

Answer 1

a=(x^2-x)(x^2+3x+2)+1•2•3•4=

x(x-1)(x+1)(x+2)+24=

(x-1)x(x+1)(x+2)+24

(x-1)x(x+1)(x+2) se observa ca acesta este produsul a 4 nr. intregi consecutive.

Oricare ar fi ele gasim:

2 numere pare (se repeta din 2 in 2)
un numar divizibil cu 4 (se repeta din 4 in 4)
cel putin unul divizibil cu 3 (se repeta din 3 in 3)

In concluzie (x-1)x(x+1)(x+2) se divide cu 2,3 si 4 oricare ar fi x, deci:

(x-1)x(x+1)(x+2)/1*2*3*4=(x-1)x(x+1)(x+2)/24=nr. intreg

a=(x^2-x)(x^2+3x+2)+1•2•3•4=

(x-1)x(x+1)(x+2)+24=

24((x-1)x(x+1)(x+2)/24 +1)=m24, m=multiplu 

24 divide ''a''