Question

Aratati ca numarul B= 1 + 3 la puterea 1 + 3 la puterea 2+...+ 3 la puterea 116 este divizibil cu 13

Answer 1

Mai întâi trebuie să aflăm cât este B

B=1+3¹+3²+...+3¹¹⁶ | 13

Aici folosim Suma lui Gauss,adică Suma de puteri

Suma o notăm cu S

Adică:

S=1+3¹+3²+...3¹¹⁶ (1)

Acum înmulțim ambii membri ai egalității (1) cu 3

Adică:

3•S=3•(1+3¹+3²+...+3¹¹⁶)

3•S=3¹+3²+...+3¹¹⁶+3¹¹⁷

Dacă observăm,este lipsă primul termen, adică 1. Așa că notăm:

S=suma

3•S=S-1+3¹¹⁷

S=3¹¹⁷-1

Răspuns: Da,este divizibil cu 13