Question

Aratati ca numarul C=1+2 la puterea 1+ 2 la puterea 2 +...+2 la puterea 71 este divizibil cu 5.

Answer 1

C=1+2+2²+...+2⁷¹/·2
2C=2+2²+2³+...+2⁷²
2C-C=2⁷²-1
C=2⁷²-1⇒U.C[2⁷²]=U.C[2¹²]=U.C[6]=6;⇒12 este divizor natural al lui 72[ce are ca ultima cifra ,aceeasi ,anume 2];
⇒u.c[1]=1;
⇒u.c[6-1]=u.c[5]=5;
⇒ultima cifra a lui C este 5⇒este divizibil cu 5;

Answer 2

C=(1+2¹+2²+2³)+2⁴(1+2+2²+2³)+. . .+2⁶⁹(1+2+2²+2³)=
              ↑
           (=15)
  =15×(1 + 2⁴+ ... +2⁶⁹) $\;\vdots\;5$