Question

Aratati ca numarul C = 7 · 12ⁿ · 3ⁿ⁺¹ + 6 · 4ⁿ⁺¹ · 9ⁿ⁺ + 18ⁿ⁺¹ · 2ⁿ⁺¹ este divizibil cu 2001 , ∀n∈Ν*

Answer 1

C = 7 · 12ⁿ · 3ⁿ⁺¹ + 6 · 4ⁿ⁺¹ · 9ⁿ⁺² + 18ⁿ⁺¹ · 2ⁿ⁺¹

C = 7 · 12ⁿ · 3ⁿ · 3 + 6 · 4ⁿ · 4 · 9ⁿ · 9² + 18ⁿ · 18 · 2ⁿ · 2

C = 21 · (12 · 3)ⁿ + 1944 ·(4 · 9)ⁿ + 36 · (18 · 2)ⁿ

C = 21 · 36ⁿ + 1944·36ⁿ + 36 · 36ⁿ

C =  36ⁿ · (21+ 1944 + 36 )
C = 36ⁿ · 2001- e div cu 2001

Answer 2

C = 7 · 12ⁿ · 3ⁿ⁺¹ + 6 · 4ⁿ⁺¹ · 9ⁿ⁺² + 18ⁿ⁺¹ · 2ⁿ⁺¹ este divizibil cu 2001, ∀ n∈Ν*


C = 7 · 12ⁿ · 3ⁿ⁺¹ + 6 · 4ⁿ⁺¹ · 9ⁿ⁺² + 18ⁿ⁺¹ · 2ⁿ⁺¹

C= 7 · (4·3)ⁿ · 3ⁿ ·3¹ + 6 · 4ⁿ·4¹ · 9ⁿ· 9² + 18ⁿ· 18⁺¹ · 2ⁿ ·2¹

C = 7 · 4ⁿ·3ⁿ · 3ⁿ ·3 + 6 · 4ⁿ·4 · 9ⁿ· 9² + 18ⁿ· 18¹ · 2ⁿ ·2¹

C =  7 · 4ⁿ·3ⁿ ⁺ⁿ ·3 + 24 · 4ⁿ · 9ⁿ· 81 + (2· 9)ⁿ· 18 · 2ⁿ ·2

C = 21· 4ⁿ·3²ⁿ  + 24 · (4· 9)ⁿ· 81 + 2ⁿ· 9ⁿ·2ⁿ · 36

C = 21· 4ⁿ·9ⁿ  + 1 944· (4· 9)ⁿ·  + 2ⁿ⁺ⁿ· 9ⁿ · 36

C = 21· (4·9)ⁿ  + 1 944· (4· 9)ⁿ·  + 2²ⁿ· 9ⁿ · 36

C = 21· (4·9)ⁿ  + 1 944· (4· 9)ⁿ·  +( 2²)ⁿ· 9ⁿ · 36

C = 21· (4·9)ⁿ  + 1 944· (4· 9)ⁿ·  +4ⁿ· 9ⁿ · 36

C = 21· (4·9)ⁿ  + 1 944· (4· 9)ⁿ·  +(4· 9)ⁿ · 36

C = 36ⁿ· ( 21+ 1 944+ 36)

C = 36ⁿ· 2 001 , dacă in factor este divizibil cu 2 001,        2 001: 2 001

                         atunci şi produsul este divizibil cu  2 001   36ⁿ·2 001:2 001

B = 36ⁿ· 2 001 :  2 001