Question

arătați că numărul F=1+7¹+7²+...+7¹⁹⁹⁵ se divide cu 400



arătați că numarul H=1+5¹+5²+...+5²⁰²¹ se divide cu 31​

Answer 1

F=1+7¹+7²+...+7¹⁹⁹⁵, sunt 1996 termeni, îi putem grupa câte 4

F=(1+7¹+7²+7³) + 7⁴(1+7¹+7²+7³) +....+ 7¹⁹⁹²(1+7¹+7²+7³)

1+7¹+7²+7³=1+7+49+343=400

=> F=400+7⁴×400+....+7¹⁹⁹²×400

F=400(1+7⁴+....+7¹⁹⁹²), este divizibil cu 400

H=1+5¹+5²+...+5²⁰²¹, sunt 2022 termeni, îi putem grupa câte 3

H=(1+5+5²)+5³(1+5+5²)+5⁶(1+5+5²)+... + 5²⁰¹⁹(1+5+5²)

1+5+5²=31

H=31+5³×31+5⁶×31+... + 5²⁰¹⁹×31

H=31(1+5³+5⁶+...+ 5²⁰¹⁹), este divizibil cu 31

Answer 2

Explicație pas cu pas:

..

F=1+7^1+7^2+.......+7^1995=

(1+7^1+7^2+7^3)+......+(7^1992+7^1993+7^1994+7^1995)=

(1+7+49+343)+......+7^1992(1+7^1+7^2+7^3)=400+....+7^1992×400=400×(1+...+7^1992) e divizibil cu 400

H= 1+ 5^1+5^2+5^3+.......+5^2021÷31

H=(1+5+5^2)+5^3×(1+5+5^2)+....+5^2019×(1+5+5^2)

H=31+5^3+.....5^2019×31

H=31×(1+5^2+....+5^2019) divizibil cu 31