Question

Aratati ca numarul n=1×2×3×...×100 este divizibil cu 5^24

Answer 1

In produsul tau (=100!) apare 5 de 24 de ori
Daca descompunem in factori primi produsul avem 
1* 2* 3* 2*2 *5  *2*3* 7 * 2*2*2  *3*3 ................5*5*2*2
5 apare in multiplii de 5 o data sau de mai multe ori
Deci avem 

5   5*2   5*3   5*4   5*5  5*6   5*7.........5*5*2 5*11.......5*3*5 ........   5*5*2*2
 
In total 20 de 5 ( proveniti de la (5*10*15*20*......*100))

Dar sa nu uitam ca in 25 50  75 si 100 mai avem inca un 5 

In total 24 de 5 care inmultiti dau 5^24 
In concluzie avem un numar inmultit cu 5^24 de unde rezulta ca 
100! se divide cu 5^24

Probabil nu-i cea mai completa redactare dar asta e principiul cu care se rezolva .

Answer 2

   
[tex]\displaystyle\\ 5 \ \textless \ 100\\ 5^2 = 25\ \textless \ 100\\ 5^3 = 125 \ \textgreater \ 100\\\\ \text{Numarul de cinciuri care se afla in descompunerea produsuli sunt:}\\\\ n = \frac{100}{5}+\frac{100}{5^2}= \frac{100}{5}+\frac{100}{25}=20 + 4 = \boxed{\bf 24}\\\\ \Longrightarrow~~ \Big(1\times2\times3\times...\times100\Big)~\vdots~5^{24}[/tex]