Question

Aratati ca numarul N = 1+3+5+7...+999 este patratul unui numar natural.Cum se rezolva problema asta?

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Progresie aritmetica

a1 = 1

an = 999

r = 2

an = a1 + (n-1)r

999 = 1 + 2(n - 1) = 1 + 2n - 2 = 2n - 1

n = (999 + 1)/2 = 1000/2 = 500 (numarul termenilor din suma)

N = 500 (1 + 999)/2 = 1000*250 = 10000*25 = 100^2 * 5^2 = (100*5)^2 = 500^2, deci patratul lui 500 care este numar natural

Answer 2

1 = [(1+1)/2]²

1+3 = 4 = [(3+1)/2]² = 2²

1+3+5 = 9 = [(5+1)/2]² = 3²

1+3+5+7 = 16 = [(7+1)/2]² = 4²

⋮

1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]² (formulă)

Demonstrez prin inducție matematică.

P(n) = 1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]²

P(n+2) = 1+3+5+7+...+n+(n+2) = [(n+2+1)/2]² = [(n+3)/2]²

P(1), P(3), P(5) și P(7) au fost deja demonstrate anterior.

P(k) = 1+3+5+7+...+k= [(k+1)/2]²

P(k+2) = 1+3+5+7+...+k+(k+2) = [(k+1)/2]² + k+2 =

= (k+1)²/4 + k+2 = [(k+1)²+4k+8]/4 = [(k²+6k+9)/4] = [(k+3)/2]²   (A)

⇒ 1+3+5+7+...+999 = [(999+1)/2]² = (1000/2)² = 500²