Question

Aratati că numarul N = 2 la 111 + 3 la 222 + 4 la 333 + 5 la 444 + ... + 9 la 888 se divide cu 5.

Vă rog am nevoie !

Answer 1

Pentru a calcula ultima cifra a unui numar la o putere mai mare, calculezi cateva puteri si vezi din cat in cat se repeta ultima cifra!

Ex pentru 2: $2^{1}=2\\ 2^{2}=4\\2^{3}=8\\2^{4}=16\\2^{5}=32$ => Ultima cifra se repeta din 4 in 4, deci exista 4 variante posibile pentru ultima cifra: 2, 4, 8, 6.  Pentru a afla ultima cifra a lui $2^{111}$ impartim pe 111 la 4 si obtinem restul 3. => a 3a varianta este 8

ultima cifra a lui 2¹¹¹=8

U(3²²²)=1

Analog, calculam primele puteri ale lui 3 si obtinem 4 variante posibile: 3, 9, 7, 1. Impartim pe 222 la 4 (numarul de variante posibile) si obtinem restul 0. Asadar ultima cifra a lui $3^{222}$ este 1

U(4³³³)=6

U(5⁴⁴⁴)=5

U(6⁵⁵⁵)=6

U(7⁶⁶⁶)=7

U(8⁷⁷⁷)=8

U(9⁸⁸⁸)=9

U(nr.)=8+1+6+5+6+7+8+9=50=> ultima cifra este 0 deci inseamna ca tot numarul este divizibil cu 5